Question

設(shè)拋物線y²=4px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．若直線l的斜率依次取p，p²，…，pⁿ時(shí)，線段AB的垂直平分線與對稱軸的交點(diǎn)依次為N₁，N₂，…，N_n，當(dāng)0＜p＜1時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為y=pⁿ（x+p），與拋物線方程聯(lián)解算出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），從而得到AB中垂直方程，然后在此方程中令y=0，得到得當(dāng)斜率時(shí)N_n的橫坐標(biāo)為．由此代入算出關(guān)于p的表達(dá)式，證出成公比為p²＜1的等比數(shù)列，利用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式即可算出S的值．
解答：解：∵拋物線y²=4px（p＞0）準(zhǔn)線為x=-p
∴M（-p，0），可得直線l的方程為y=pⁿ（x+p）
與拋物線y²=4px消去x，得y²-+4p²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得y₁+y₂=，y₁y₂=4p²，所以x₁+x₂=（y₁²+y₂²）=
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即（，）
因此，線段AB的垂直平分線為y-=[x-]
令y=0，得x_n=，得當(dāng)斜率時(shí)，．
因此，|N_nN_n+1|=|x_n+1-x_n|=，
所以，
所以是以為首項(xiàng)，以p²為公比的等比數(shù)列，且0＜p²＜1，
故=．
點(diǎn)評：本題著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率與等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式等知識，屬于中檔題．本題綜合了幾何與代數(shù)中的主干知識，是一道不錯(cuò)的綜合題型．