Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x（a∈R），若對(duì)任意x＞0，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：若對(duì)任意x＞0，f（x）＜0恒成立，僅需函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x在（0，+∞）上遞減即可，即f′（x）=ln（x+1）-2ax≤0在（0，+∞）上恒成立，即當(dāng)x＞0時(shí)，y=2ax的圖象恒在y=ln（x+1）圖象的上方，進(jìn)而可得a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x，
∴f′（x）=ln（x+1）-2ax，
∵f（0）=0，
若對(duì)任意x＞0，f（x）＜0恒成立，
僅需函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x在（0，+∞）上遞減即可，
即f′（x）=ln（x+1）-2ax≤0在（0，+∞）上恒成立，
即當(dāng)x＞0時(shí)，y=2ax的圖象恒在y=ln（x+1）圖象的上方，
由于y=2ax的圖象與y=ln（x+1）圖象交于（0，0）點(diǎn)，
故y=ln（x+1）的導(dǎo)數(shù)

1

x+1

＜2a在x＞0時(shí)恒成立，
由于g（x）=

1

x+1

在（0，+∞）上為減函數(shù)，且g（0）=1，
則2a≥1，
即a≥

1

2

，
故a的取值范圍為：[

1

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，本題的轉(zhuǎn)化比較復(fù)雜，屬于難題．