Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）；數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

bn+1

2

}的前n和為S_n，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)S_n=2a_n-2，利用S_n=2a_n-2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可求數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，找到規(guī)律即可求出通項(xiàng)；對(duì)于數(shù)列{b_n}，直接利用點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上，代入得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，即可求通項(xiàng)；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法求和，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），…（2分）
即a_n=2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴

an

an-1

=2(n≥2，n∈N*)；
即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
∵a₁=S₁，
∴a₁=2a₁-2，即 a₁=2
∴an=2n． …（6分）
∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1．…（8分）
（Ⅱ）由題意，∵b_n=2n-1
∴

bn+1

2

=n
∴Sn=1+2+…+n=

1

2

n(n+1)，…（9分）

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，…（10分）

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]…（11分）
=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查裂項(xiàng)法求和，解題的關(guān)鍵是等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定，明確通項(xiàng)的特征，屬于中檔題．