Question

若橢圓a²x²+y²=a²（0＜a＜1）上離頂點A（0，a）最遠(yuǎn)點為（0，-a），則a的取值范圍是（　�。�

• A．0＜a＜1
• B．

  2

  2

  ≤a＜1
• C．

  2

  2

  ＜a＜1
• D．0＜a＜

  2

  2

Answer 1

分析：設(shè)：P（cost，asint）是橢圓a²x²+y²=a²上任一點，依題意，可求得|PA|²=（a²-1）(sint-

a2

a2-1

)2-

1

a2-1

，通過對其對稱軸的范圍的討論，利用開口向下的二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得滿足題意的實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：設(shè)：P（cost，asint）是橢圓a²x²+y²=a²上任一點，
則|PA|²=cos²t+a²（1-sint）²
=1-sin²t+a²sin²t-2a²sint+a²
=（a²-1）sin²t-2a²sint+a²+1
=（a²-1）(sint-

a2

a2-1

)2-

a4

a2-1

+a²+1，
=（a²-1）(sint-

a2

a2-1

)2-

1

a2-1

．
∵0＜a＜1，
∴a²-1＜0，
∴

a2

a2-1

＜0，
∴當(dāng)

a2

a2-1

≤-1，
即a²≥1-a²，
即

2

2

≤a＜1時，
sint=-1時取最大值，即|PA|²_max=4a²，
∴|PA|_max=2a，此時點P的坐標(biāo)為P（0，-a）．
當(dāng)-1＜

a2

a2-1

＜0時，sint=

a2

a2-1

時，|PA|²_max=-

1

a2-1

=

1

1-a2

，
要滿足題意，應(yīng)有

1

1-a2

=4a²，
解得a²=

1

2

，不滿足-1＜

a2

a2-1

＜0，需舍去．
綜上所述，滿足題意的a的取值范圍為：[

2

2

，1）．
故選：A．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其性質(zhì)，著重考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用與二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論思想與綜合運算能力，屬于難題．