正四面體A-BCD（四個面都是等邊三角形的三棱錐）中，E為BC中點，求異面直線AE與BD所成角的余弦值．
分析：取CD中點F，連接EF、AF．在△BCD中利用中位線定理得EF∥BD，所以∠AEF（或其補角）即為異面直線AE與BD所成的角，設(shè)正四面體棱長為a，算出△AEF中各邊之長，再利用余弦定理加以計算可得答案．
解答：解：取CD中點F，連接EF、AF，可得
∵△BCD中E、F分別為BC、CD的中點，∴EF∥BD，EF=
1
2
BD
因此，∠AEF（或其補角）即為異面直線AE與BD所成的角，
設(shè)正四面體棱長為a，由題意可得AF=AE=
3
2
a，EF=
1
2
a，
∴在△AEF中，根據(jù)余弦定理得
cos∠AEF=
EF2+EA2-AF2
2EF•EA
=
1
4
a2+
3
4
a2-
3
4
a2
2×
1
2
a×
3
2
a
=
3
6
，
即異面直線AE和BD所成角的余弦值為
3
6
．
點評：本題在正四面體中求異面直線所成角大�。乜疾榱苏拿骟w的性質(zhì)、三角形的中位線定理和異面直線所成角的定義及其求法等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正四面體A-BCD中，異面直線AB與CD所成角為（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正四面體A-BCD中，E、F分別為AC、AD的中點，則△BEF在該四面體的面ADC上的射影可能是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正四面體A-BCD的棱長為2
2
，且M，N分別為AB、CD的中點．
（1）求MN和BD所成角的大��；
（2）求BN與DM所成角的大��；
（3）求該四面體的外接球的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•宣武區(qū)一模）正四面體A-BCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，使得
AE
EB
=
CF
FD
=λ(λ＞0)，設(shè)f（λ）=αλ+βλ，αλ與βλ分別表示EF與AC，BD所成的角，則（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湘潭三模）已知空間正四面體A-BCD，則異面直線AB和CD所成角的度數(shù)為
90
90
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案