已知橢圓，直線與相交于、兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

（1）；（2）存在，且直線的方程為或.

解析試題分析：（1）先確定三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用其外接圓圓心即為該三角形垂直平分線的交點(diǎn)求出外接圓的圓心，并利用兩點(diǎn)間的距離公式求出外接圓的半徑，從而求出外接圓的方程；（2）將、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，且有，借助韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.
試題解析：（1）因?yàn)橹本�的方程為，
所以軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).
則線段的中點(diǎn)，，
即外接圓的圓心為，半徑為，
所以外接圓的方程為；
（2）結(jié)論：存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn).
理由如下：
由題意，設(shè)直線的方程為，，，
則，，
由方程組得，
所以，（*）
由韋達(dá)定理，得，.
由、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合.
所以，
解得.
由、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得.
所以，
即，
解得.
驗(yàn)證知（*）成立.
所以存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，此時(shí)直線l的方程為，
或.
考點(diǎn)：1.三角形的外接圓方程；2.韋達(dá)定理；3.弦長(zhǎng)公式

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為.
(1)若是邊長(zhǎng)為的正三角形，求拋物線的方程；
(2)若，求橢圓的離心率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向右，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)為2，過(guò)C上一點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn).

（1）若直線PQ過(guò)定點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）對(duì)于第（1）問(wèn)的點(diǎn)A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個(gè)數(shù)；若不能，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，已知、、是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)橢圓中心，且，．

（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上是否存點(diǎn)，使得？若存在，有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的兩條線，切點(diǎn)分別為、，，若直線 在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在直線（為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程；
（3）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，
求證：線段的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

雙曲線的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，漸近線方程為 .
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線：與雙曲線交于、兩點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，以 為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動(dòng)圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)拋物線的焦點(diǎn)為,若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),若,求直線的斜率；
(3)若過(guò)點(diǎn)且相互垂直的兩條直線,拋物線與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)．
證明：無(wú)論如何取直線,都有為一常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，并與雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，求拋物線與雙曲線方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案