已知橢圓經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）動直線交橢圓于、兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點．若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（1）（2）點就是所求的點

解析試題分析：（Ⅰ）橢圓的兩焦點與短軸的一個端點連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以，故橢圓的方程為．
又因為橢圓經(jīng)過點，代入可得，2分
所以，故所求橢圓方程為．4分
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0時，直線為，直線交橢圓于、兩點，以為直徑的圓的方程為； 
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，直線交橢圓于、兩點，以為直徑的圓的方程為，
由解得
即兩圓相切于點，因此，所求的點如果存在，只能是．8分
事實上，點就是所求的點．
證明如下：
當(dāng)的斜率不存在時，以為直徑的圓過點．9分
若的斜率存在時，可設(shè)直線為，
由消去得．
記點、，則    10分
又因為，
所以
．
所以，即以為直徑的圓恒過點，12分
所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點滿足條件．13分
考點：直線與橢圓的位置關(guān)系
點評：主要是考查了解析幾何中運用代數(shù)的方法來建立方程組結(jié)合韋達(dá)定理來研究位置關(guān)系的運用，屬于中檔題。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點,其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列.直線與軸正半軸和軸分別交于點、，與橢圓分別交于點、,各點均不重合且滿足
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，試證明：直線過定點并求此定點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為，直線交橢圓于不同的兩點。
（1）求橢圓的方程；
（2）若坐標(biāo)原點到直線的距離為，求面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知M (-3，0)﹑N (3，0)，P為坐標(biāo)平面上的動點，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)m (m，m0)，點P的軌跡加上M、N兩點構(gòu)成曲線C.
求曲線C的方程并討論曲線C的形狀；
(2) 若，曲線C過點Q (2，0) 斜率為的直線與曲線C交于不同的兩點A﹑B，AB中點為R，直線OR (O為坐標(biāo)原點)的斜率為，求證 為定值；
(3) 在(2)的條件下，設(shè)，且，求在y軸上的截距的變化范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為：2．（1）過點C（-1,0）且以向量為方向向量的直線交橢圓于不同兩點A、B，若，則當(dāng)△OAB的面積最大時，求橢圓的方程。
（2）設(shè)M，N為橢圓上的兩個動點，，過原點O作直線MN的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

由直線：上的點向圓C：引切線，
求切線段長的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)雙曲線與橢圓+=1有公共的焦點，且與橢圓相交，它們的交點中一個交點的縱坐標(biāo)是4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、
軸上的動點，且滿足．若點滿足．
(Ⅰ)求點的軌跡的方程；
(Ⅱ)設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線分別交
于點、（為坐標(biāo)原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，
請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩焦點是F1(0，-1)，F(xiàn)2(0,1)，離心率e=
(1)求橢圓方程；(2)若P在橢圓上，且|PF1|-|PF2|=1，求cos∠F1PF2。

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