Question

 設，橢圓方程為，拋物線方程為，如圖所示，過點F（0，）作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點。

    （1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

    （2）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由得，

    當得，∴G點的坐標為（4，），

    法一：，與拋物線聯(lián)立，

    △＝0，解得；

    法二：由橢圓方程得點的坐標為（，0），

    根據(jù)拋物線光學性質(zhì)，∴即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；

    （2）∵過A作軸的垂線與拋物線只有一個交點P，

∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個，

同理，以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個。

若以∠APB為直角，設P點坐標為（），A、B兩點的坐標分別為和（，0），，

    關于的二次方程有一大于等于1的解，∴有兩解，

    即以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個，

    因此拋物線上存在四個點使得△ABP為直角三角形。