Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且cos∠F₁PF₂的最小值為

1

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）動(dòng)圓x²+y²=t²（

2

＜t＜

3

）與橢圓C相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，在△PF₁F₂中利用余弦定理算出cos∠F₁PF₂=

4a2-4

2|PF1|•|PF2|

-1．利用基本不等式算出|PF₁|•|PF₂|≤a²，結(jié)合a＞1得cos∠F₁PF₂≥1-

2

a2

，從而得到1-

2

a2

=

1

3

，解之得a²=3，進(jìn)而可得橢圓C的方程；
（2）設(shè)A（x₀，y₀），得矩形ABCD的面積S=4|x₀y₀|．利用橢圓方程化簡(jiǎn)，可得S滿(mǎn)足：S²=-

32

3

（x 02-

3

2

）²+24．再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計(jì)算，可得當(dāng)t=

10

2

時(shí)矩形ABCD的面積最大，最大面積為2

6

．

解答：解：（1）因?yàn)镻是橢圓C上一點(diǎn)，所以|PF₁|+|PF₂|=2a．
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2，由余弦定理得
cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4

2|PF1|•|PF2|

-1．
因?yàn)閨PF₁|•|PF₂|≤（

|PF 1|+|PF 2|

2

）²=a²，當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|=a時(shí)等號(hào)成立．
∴由a＞1，可得cos∠F₁PF₂≥

4a2-4

2a2

-1=1-

2

a2

．
∵cos∠F₁PF₂的最小值為

1

3

，∴1-

2

a2

=

1

3

，解之得a²=3．
又∵c=1，∴b²=a²-c²=2，可得橢圓C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），則矩形ABCD的面積S=4|x₀y₀|．
因?yàn)?span id="9xphvrl" class="MathJye">

x02

3

+

y02

2

=1，所以y02=2(1-

1

3

x02)．
∴S²=16x₀²y₀²=-

32

3

（x 02-

3

2

）²+24．
∵-

3

＜x₀＜

3

且x₀≠0，∴當(dāng)x₀²=

3

2

時(shí)，S²取得最大值24．
此時(shí)y₀²=1，t=

x02+y02

=

10

2

．
即當(dāng)t=

10

2

時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿(mǎn)足的條件，求橢圓方程并討論矩形面積的最大值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理解三角形和基本不等式等知識(shí)，屬于中檔題．