Question

在如圖所示的幾何體中，是邊長為2的正三角形，AE＞1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（1）若AE=2，求證：AC∥平面BDE；
（2）若二面角A-DE-B為60°，求AE的長．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）分別取BC，BA，BE的中點M，N，P，連接DM，MN，NP，DP，由已知條件推導(dǎo)出四邊形DMNP為平行四邊形，由此能證明AC∥平面BDE．
（2）由DM⊥平面ABC，AM⊥MB，建立空間直角坐標系M-xyz，利用向量法能求出AE=

6

+1．

解答： （1）證明：分別取BC，BA，BE的中點M，N，P，
連接DM，MN，NP，DP，
則MN∥AC，NP∥AE，且NP=

1

2

AE=1，
∵BD=CD且BD⊥CD，BC=2，M為BC的中點，
∴DM⊥BC，DM=1，
又∵平面BCD⊥平面ABC，∴DM⊥平面ABC，
又AE⊥平面ABC，∴DM∥AE，
∴DM∥NP，且DM=NP，
∴四邊形DMNP為平行四邊形，
∴MN∥DP，∴AC∥DP，又AC不包含于平面BDE，DP?平面BDE，
∴AC∥平面BDE．
（2）解：由（1）知DM⊥平面ABC，AM⊥MB，
建立如圖所示的空間直角坐標系M-xyz，
則AE=h，則M（0，0，0），B（1，0，0），D（0，0，1），A（0，

3

，0），E（0，

3

，h），

BD

=（-1，0，1），

BE

=（-1，

3

，h），
設(shè)平面BDE的法向量

n1

=（x，y，z），
則

BD • n1 =-x+z=0 BE • n1 =-x+ 3 y+zh=0

，
令x=1，得

n1

=（1，

1-h

3

，1），
又平面ADE的法向量

n2

=（1，0，0），
∵二面角A-DE-B為60°，
∴cos60°=cos＜

n1

，

n2

＞=

1

2+ (1-h)2 3

=

1

2

，
解得h=

6

+1，故AE=

6

+1．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線長的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．