Question

已知P為橢圓9x²+2y²=18上任意一點，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在線段PQ上，且，設點M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m與曲線E有兩個不同的交點A、B，且，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）設點P（x₀，y₀）是橢圓上一點，
則Q（x₀，0），M（x，y），，．
∵，（1分）
∴
∴即點P的坐標為（x，3y）．（3分）
點P在橢圓上，代入橢圓方程得：9x²+18y²=18．
即曲線E的方程為x²+2y²=2．（5分）
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程y=x+m與9x²+18y²=18聯(lián)立
去y，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=（4m）²-12（2m²-2）＞0，解得0≤m²＜3．
，．（7分）
由得．
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）•（x₂+m）
=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²==（10分）
∴，即m²＞2，又0≤m²＜3，
∴2＜m²＜3．
∴實數(shù)m的取值范圍是．（12分）
分析：（I）先設出點P以及M的坐標，求出，；再結(jié)合，即可把點P的坐標用點M的坐標表示出來；最后把點P的坐標代入橢圓方程即可求出曲線E的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與曲線E的方程可得點A、B坐標與m之間的關系；再結(jié)合，即可求出實數(shù)m的取值范圍（注意須滿足直線一定與曲線E相交）．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系．本題的易錯點在于：忘記直線一定與圓錐曲線相交這一限制條件，從而得到錯誤結(jié)論．