Question

根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出a，b的值依次分別記為a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₀₈；b₁，b₂，…，b_n，…，b₂₀₀₈．
（Ⅰ）求數(shù)列 { a_n} 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）寫出b₁，b₂，b₃，b₄，由此猜想{ b_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的證明；
（Ⅲ）在 a_k與 a_k+1中插入b_k+1個(gè)3得到一個(gè)新數(shù)列 { c_n }，設(shè)數(shù)列 { c_n }的前n項(xiàng)和為S_n，問是否存在這樣的正整數(shù)m，使數(shù)列{ c_n }的前m項(xiàng)的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)框圖可知a_n+1=a_n+1整理得a_n+1-a_n=1，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出{a_n}為等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n，
（II）根據(jù)b₁=0，b₂=2，b₃=8，b₄=26，猜想b_n=3^n-1-1．證明時(shí)利用b_n+1=3b_n+2，整理得b_n+1+1=3（b_n+1），判斷出{b_n+1}為等比數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)和公比求得{b_n}的通項(xiàng)公式．
（III）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在這樣的正整數(shù)m，使數(shù)列{ c_n }的前m項(xiàng)的和S_m=2008，再利用數(shù)列求和，求出S_m，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）a₁=1，a_n+1=a_n+1，∴{ a_n}是公差為1的等差數(shù)列．∴a_n=n．
（Ⅱ）b₁=0，b₂=2，b₃=8，b₄=26，
猜想b_n=3^n-1-1．證明如下：b_n+1=3b_n+2，b_n+1+1=3（b_n+1），
∴{ b_n+1}是公比為3的等比數(shù)列．∴b_n+1=（b₁+1）3^n-1=3^n-1．則b_n=3^n-1-1．
（Ⅲ）數(shù)列{c_n}中，a_k項(xiàng)（含a_k）前的所有項(xiàng)的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，
估算知，當(dāng)k=7時(shí)，其和是28+

37-3

2

=1120＜2008，當(dāng)k=8時(shí)，其和是36+

38-3

2

=3315＞2008，又因?yàn)?008-1120=888=296×3，是3的倍數(shù)，
故存在這樣的m，使得S_m=2008，此時(shí)m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了程序框圖、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列求和問題．由等差數(shù)列和等比數(shù)列構(gòu)成的數(shù)列常可用分組求和法．