Question

已知函數(shù)f（x）=x-

ln(1+x)

1+x

（Ⅰ）  求f（x）的最小值．
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[m，n]（0≤m＜n）上的值域為[km，kn]，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 先求導(dǎo)函數(shù)，再令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x）∴N′（x）＞0，故N（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，結(jié)合f（x）在（-1，0）上單調(diào)減，（0，+∞）上單調(diào)遞增可求f（x）的最小值．
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在區(qū)間[m，n]（m＜n），再利用二次函數(shù)的單調(diào)性，求出m，n的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ） f/(x)=

(1+x)2-1+ln(1+x)

(1+x)2

，令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x）∴N′（x）＞0，故N（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，N（0）=0，又函數(shù)f（x）在（-1，0）上單調(diào)減，（0，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）_min=f（0）=0
（Ⅱ）由題意f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故

f(m)=km f(n)=kn

，即方程f（x）=kx在[0，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根，又0是方程f（x）=kx的根，故此方程還有一個正根．
令F(x)=f(x)-kx=(1-k)x-

ln(1+x)

1+x

，∴F/(x)=

(1-k)(1+x)2-1+ln(1+x)

(1+x)2

，
令N₁（x）=（1-k）（1+x）²-1+ln（1+x），
當0＜k＜1時，N₁′（x）＞0，故N₁（x）單調(diào)遞增，由于當x→+∞時，F(xiàn)（x）→+∞，F(xiàn)（0）=0，要使F（x）=0有一個正根，只要F（x）有一個正德極值，即N₁（x）=0有一個正根，故N₁（x）＜0，即-k＜0，∴0＜k＜1；
當k≥1時，令F（0）=0則(1-k)x=

ln(1+x)

1+x

，由于x＞0，∴（1-k）x≤0，而

ln(1+x)

1+x

＞0故上式不成立
綜上所述，0＜k＜1

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查等價轉(zhuǎn)化問題的能力，有一定的難度．屬于中檔題．