Question

（2012•武清區(qū)一模）某大學(xué)共有A、B、C三個(gè)學(xué)生食堂，一個(gè)宿舍共有四名學(xué)生，在一段時(shí)間內(nèi)，他們每天中午都在學(xué)生食堂用餐，且每個(gè)學(xué)生到這三個(gè)食堂中的任一食堂用餐的可能性都相等．用X表示這個(gè)宿舍每天中午在A食堂用餐的人數(shù)．根據(jù)這一時(shí)間段該宿舍學(xué)生的就餐情況解決下列問(wèn)題：
（1）求每天中午每個(gè)學(xué)生食堂中至少有這個(gè)宿舍一名學(xué)生用餐的概率；
（2）求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

分析：（1）每天中午每個(gè)學(xué)生食堂中至少有這個(gè)宿舍一名學(xué)生用餐的情況有

C

2 4

•

A

3 3

種，四名學(xué)生到食堂用餐的情況共有3⁴種，由此能求出每天中午每個(gè)學(xué)生食堂中至少有這個(gè)宿舍一名學(xué)生用餐的概率．
（2）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出X的數(shù)學(xué)期望和方差．

解答：解：（1）每天中午每個(gè)學(xué)生食堂中至少有這個(gè)宿舍一名學(xué)生用餐的情況有

C

2 4

•

A

3 3

種，
四名學(xué)生到食堂用餐的情況共有3⁴種，
∴每天中午每個(gè)學(xué)生食堂中至少有這個(gè)宿舍一名學(xué)生用餐的概率P=

C 2 4 • A 3 3

34

=

4

9

．
（2）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=

24

34

=

16

81

，
P（X=1）=

C 1 4 •23

34

=

32

81

，
P（X=2）=

C 2 4 •22

34

=

24

81

，
P（X=3）=

C 3 4 •2

34

=

8

81

，
P（X=4）=

C 4 4

34

=

1

81

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

∴EX=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

．
DX=（0-

4

3

）²×

16

81

+（1-

4

3

）²×

32

81

+（2-

4

3

）²×

24

81

+（3-

4

3

）²×

8

81

+（4-

4

3

）²×

1

81

=

8

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，是歷年高考的必考題型，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．