Question

是否存在一個實數k，使方程8x²+6kx+2k+1=0的兩個根是一個直角三角形的兩個銳角的正弦？

Answer 1

分析：設直角三角形兩個銳角為α，β，根據sinα，sinβ是方程的兩個根據，根據韋達定理可知兩根之和與兩根之積，根據同角三角函數基本關系整理得9k²-8k-20=0，求得k的值，把k=2代入原方程求得判別式小于0，排除；把k═-

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代入方程兩根的積，結果小于不符合題意也排除，進而推斷出k的值不存在．

解答：解：設直角三角形兩個銳角為α，β，則sinα，sinβ是方程8x²+6kx+2k+1=0的兩個根．
∵α+β=90°，∴sinβ=cosα
根與系數的關系，得

sinα+cosα=- 3k 4 ① sinαcosα= 2k+1 8 ②

①²-2×②得9k²-8k-20=0
∴k₁=2，k₂=-

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當k=2時變?yōu)?x²+12x+5=0，
△=144-160＜0
∴k=2舍去．
將k=-

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代入②，得sinα•cosα=sinα•sinβ=-

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，
∴sinα，sinβ異號，應有sinα＜0或sinβ＜0，實際上sinα＞0，sinβ＞0，
∴k=-

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不滿足題意，
∴k值不存在．

點評：本題主要考查了同角三角函數基本關系的應用，和數學方程思想．考查了學生綜合分析問題的能力．