Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D上有兩個動點E、F，且EF=

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，則下列結(jié)論中錯誤的是（　　）

• A、AC⊥BE
• B、A₁C⊥平面AEF
• C、三棱錐A-BEF的體積為定值
• D、異面直線AE、BF所成的角為定值

Answer 1

分析：通過直線AC垂直平面平面BB₁D₁D，判斷A是正確的；通過直線EF垂直于直線AB₁，AD₁，判斷A₁C⊥平面AEF是正確的；計算三角形BEF 的面積和A到平面BEF的距離是定值，說明C是正確的；只需找出兩個特殊位置，即可判斷D是不正確的；綜合可得答案．

解答：解：∵AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D，
∴AC⊥BE．故A正確．
∵EF垂直于直線AB₁，AD₁，
∴A₁C⊥平面AEF．故B正確．
C中由于點B到直線B₁D₁的距離不變，故△BEF的面積為定值．
又點A到平面BEF的距離為

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，故V_A-BEF為定值．C正確
當(dāng)點E在D₁處，F(xiàn)為D₁B₁的中點時，異面直線AE，BF所成的角是∠OEB，
當(dāng)E在上底面的中心時，F(xiàn)在C₁的位置，
異面直線AE，BF所成的角是∠OE₁B
顯然兩個角不相等，D不正確．
故選D．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，異面直線及其所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．