Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D是AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線A₁C₁與B₁D所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角C-B₁D-B的大小；
（Ⅲ）在B₁C上是否存在一點(diǎn)E，使得DE∥平面ABC？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，以B為原點(diǎn)，BC、BA、BB₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），
B₁（0，0，2），C₁（1，0，2），A₁（0，1，2），D（0，1，1），
∵，
∴，
∴異面直線A₁C₁與B₁D所成的角為60°．

（Ⅱ）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB₁=B，∴BC⊥平面ABB₁D．
如圖，連接BD，
在△BB₁D中，∵，
∴BD²+B₁D²=BB₁²，即BD⊥B₁D，
∵BD是CD在平面ABB₁D內(nèi)的射影，
∴CD⊥B₁D，∴∠CDB為二面角C-B₁D-B的平面角．
∵，
∴，
∴二面角C-B₁D-B的大小為；

（Ⅲ）答：在B₁C上存在一點(diǎn)E，使得DE∥平面ABC，此時(shí)．
以下給出證明過程．
證明：如圖，設(shè)E為B₁C的中點(diǎn)，G為BC的中點(diǎn)，連接EG，AG，ED，
在△BCB₁中，∵BG=GC，B₁E=EC，∴EG∥BB₁，且，
又AD∥BB₁，且，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴四邊形ADEG為平行四邊形，∴DE∥AG，
又AG?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
分析：（Ⅰ）以B為原點(diǎn)，BC、BA、BB₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，最后利用夾角公式求解．
（Ⅱ）直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，得到B₁B⊥BC，再由AB⊥BC，得到BC⊥平面ABB₁D．從而有BD⊥B₁D，所以BD是CD在平面ABB₁D內(nèi)的射影，∠CDB為二面角C-B₁D-B的平面角．
（Ⅲ）由D為中點(diǎn)，則設(shè)E為B₁C的中點(diǎn)，G為BC的中點(diǎn)，有EG∥BB₁，再由，AD∥BB₁，且，得到四邊形ADEG為平行四邊形，從而有DE∥AG，從而有DE∥平面ABC結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要考查用向量法求線面角、二面角以及線線、線面與面面平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，綜合性較強(qiáng)．