橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x2+y2-1上，過右焦點作相互相垂直的兩條弦AB，CD，設(shè)M，N分別為AB，CD的中點．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明直線MN恒過定點，并求該定點的坐標(biāo)．
分析：（1）根據(jù)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x2+y2-1上，可得b=c=1，從而可求橢圓的方程；
（2）直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定M、N的坐標(biāo)，可得直線MN的方程，化簡即可得到直線MN恒過定點．
解答：（1）解：由題意，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x2+y2-1上
∴b=c=1，∴a2=b2+c2=2
∴橢圓的方程為
x2
2
+y2=1；
（2）證明：當(dāng)AB的斜率為0或不存在時，直線MN的方程為y=0；
當(dāng)AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則點M的坐標(biāo)為（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）
直線AB的方程y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（2k2+1）-4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=
4k2
2k2+1

∴y1+y2=k（x1+x2-2）=
-2k
2k2+1

∴M（
2k2
2k2+1
，
-k
2k2+1
）
同理可得N（
2
k2+2
，
k
k2+2
）
∴直線MN的方程為：
y+
k
2k2+1
k
k2+2
+
k
2k2+1
=
x-
2k2
2k2+1
2
k2+2
-
2k2
2k2+1

化簡可得（2-2k2）y=3k（x-
2
3
）
∴直線MN恒過定點（
2
3
，0）．
點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點，確定直線MN的方程是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標(biāo)原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標(biāo)為（a，0），求點B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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