已知點Pn（an，bn）（n∈N）滿足an+1=anbn+1，bn+1=
bn
1-4
a
2
n
，且點P1的坐標為（1，-1）．
（Ⅰ）求經(jīng)過點P1，P2的直線l的方程；
（Ⅱ） 已知點Pn（an，bn）（n∈N）在P1，P2兩點確定的直線l上，求數(shù)列{an}通項公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求對于所有n∈N，能使不等式（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥k
1
b2b3…bn+1
成立的最大實數(shù)k的值．
分析：（Ⅰ）先求出a2 和b2 的值，即可得到P2 的坐標，用兩點式求得過點P1，P2的直線l的方程．
（Ⅱ）把已知點Pn的坐標代入直線l的方程可得 2an+bn=1，化簡可得
1
an+1
-
1
an
=2，故{
1
an
}是公差等于2的等差數(shù)列，由此求得數(shù)列{an}通項公式．
（Ⅲ）由上可得 bn=1-2an=
2n-3
2n-1
．依題意 k≤（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）
b2b3…bn+1
 恒成立．設(shè)F（n）=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）
b2b3…bn+1
，利用單調(diào)性求得F（n）min=F（1），故 k≤F（1），運算求得結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）因為 b2= 
b1
1-4a12
=
1
3
，所以a2=a1b2=
1
3
．所以P2（
1
3
，
1
3
）．
所以過點P1，P2的直線l的方程為 2x+y=1．
（Ⅱ）∵已知點Pn（an，bn）（n∈N）在P1，P2兩點確定的直線l上，
∴2an+bn=1．
由an+1=anbn+1 可得 an+1=an（1-2an+1），
∴
1
an
=
1-2an+1
an+1
，即
1
an+1
-
1
an
=2，故{
1
an
}是公差等于2的等差數(shù)列．
所以
1
an
=1+2（n-1）=2n-1，所以an=
1
2n-1
．
（Ⅲ）由上可得 bn=1-2an=
2n-3
2n-1
．依題意 k≤（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）
b2b3…bn+1
 恒成立．
設(shè)F（n）=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）
b2b3…bn+1
，所以只需求滿足 k≤F（n）的F（n）的最小值．
∵
F(n+1)
F(n)
=
(1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an+1)
b2b3…bn+2
   
(1+a1)(1+a2)…(1+an)  
b2b3…bn+1
=（1+an+1）
bn+2
=
2n+2
2n+1
2n+3
=
4n2+8n+4
4n2+8n+3
＞1，
所以F（n） （x∈N*）為增函數(shù)．
所以F（n）min=F（1）=
2
3
=
2
3
3
．
所以 k≤
2
3
3
．
所以kmax=
2
3
3
．
點評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列的函數(shù)特性，函數(shù)的恒成立問題，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）已知點A（1，0），B（0，1）和互不相同的點P1，P2，P3，…，Pn，…，滿足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)，O為坐標原點，其中{an}、{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，P1是線段AB的中點，對于給定的公差不為零的an，都能找到唯一的一個bn，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在一個指數(shù)函數(shù)
 
（寫出函數(shù)的解析式）的圖象上．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點集L={（x，y）|y=
m
•
n
}，其中
m
=（2x-b，1），
n
=（1，b+1），點列Pn（an，bn）（n∈N+）在L中，p1為L與y軸的交點，數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若f（n）=
an，(n為奇數(shù))
bn，(n為偶數(shù))
，令Sn=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），試寫出Sn關(guān)于n的表達式；
（Ⅲ）若f（n）=
an，(n為奇數(shù))
bn，(n為偶數(shù))
，給定奇數(shù)m（m為常數(shù)，m∈N+，m＞2）．是否存在k∈N+，，使得
f（k+m）=2f（m），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=（2x-b，1），
n
=（1，b+1），點列Pn（an，bn）在L中，P1為L與y軸的交點，等差數(shù)列{an}的公差為1，n∈N*．
（I）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若f(n)=
an  n為正奇數(shù)
bn  n為正偶數(shù)
，令Sn=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；試寫出Sn關(guān)于n的函數(shù)解析式；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，1+b)，又知點列Pn（an，bn）∈L，P1為L與y軸的交點．等差數(shù)列{an}的公差為1，n∈N*．
（Ⅰ）求Pn（an，bn）；
（Ⅱ）若f(n)=
an，n=2k-1
bn，n=2k
k∈N*，f(k+11)=2f(k)，求出k的值；
（Ⅲ）對于數(shù)列{bn}，設(shè)Sn是其前n項和，是否存在一個與n無關(guān)的常數(shù)M，使
Sn
S2n
=M，若存在，求出此常數(shù)M，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，b+1)，點列Pn（an，bn）在L中，P1為L與y軸的交點，等差數(shù)列{an}的公差為1，n∈N+．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（2）若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N+)，是否存在k∈N+使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
（3）求證：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
（n≥2，n∈N*）．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案