Question

12．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（x+a）e^x+2（其中a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 若x∈[-1，2]時(shí)，方程f（x）=m有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)的奇偶性，通過f（0）=0，即可 求a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（x-2）e^x+2．當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+2）e^-x-2．如果利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，極值，通過方程f（x）=m有實(shí)數(shù)根，實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
由f（0）=0得f（0）=（0+a）e⁰+2=0
即a=-2．（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（x-2）e^x+2．
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=（-x-2）e^-x+2．
由于f（x）是奇函數(shù)，則f（x）=-f（-x）=-[（-x-2）e^-x+2]，
故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+2）e^-x-2．（6分）
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=（x+2）e^-x-2，f'（x）=-（x+1）e^-x，
由-1≤x＜0，知f'（x）≤0，則當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
此時(shí)f（0）＜f（x）≤f（-1），即f（x）∈（0，e-2]．（8分）
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）=（x-2）e^x+2，f'（x）=（x-1）e^x，由f'（x）=0，得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，2）上單調(diào)遞增．則f（x）在x=1處取得極小值f（1）=2-e，又f（0）=0，f（2）=2，
故當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）∈[2-e，2]．
綜上，當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）∈[2-e，2]，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2-e，2]．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．