Question

已知函數(shù)f(x)=

1

4

x2-

1

a

x+ln(x+a)，其中常數(shù)a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意得f′（1）=0，解關(guān)于a的方程，即可得a的值，最后代入原函數(shù)驗(yàn)證即可；
（2）將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）因式分解，再根據(jù)a與

2

的大小關(guān)系，得出函數(shù)零點(diǎn)的不同情況，分a=

2

，a＞

2

和a＜

2

三種情況討論，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

4

x2-

1

a

x+ln(x+a)，
∴f′（x）=

1

2

x-

1

a

+

1

x+a

，
又∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=-

1

a

+

1

1+a

=0，
∵a為正數(shù)，∴解此方程得a=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，在x=1處取得極小值，故a=1；
（2）由（1）知f′（x）=

1

2

x-

1

a

+

1

x+a

=

x[ax-(2-a2)]

2a(x+a)

（x＞-a，a＞0），
①當(dāng)a=

2

時(shí)，f′（x）=

x2

2(x+a)

≥0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-2，+∞）
②當(dāng)a＞

2

時(shí)，由f′（x）＞0得-a＜x＜

2-a2

a

或x＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-a，

2-a2

a

），（0，+∞）
③當(dāng)0＜a＜

2

時(shí)，由f′（x）＞0得-a＜x＜0或x＞

2-a2

a

，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-a，0）和 （

2-a2

a

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)對(duì)函數(shù)在某點(diǎn)處極值的存在性加以探討，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．