Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c，g（x）=x²+2x+2，若函數(shù)f（x）在x=-1和x=3時取得極值
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若存在x₁∈[-2，6]，x₂[-2，6]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）在x=-1和x=3時取得極值，可判斷f'（-1）=0，f'（3）=0，就可求出a，b的值．
（2）若存在x₁∈[-2，6]，x₂[-2，6]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，則當x∈[-2，6]時，f（x）的最小值大于等于g（x）的最大值，再利用導數(shù)分別求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，讓再f（x）的最小值大于等于g（x）的最大值即可．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b∵f（x）在及x=3處取得極值
∴-1和3是方程3x²-2ax+b的兩根，
（2）依題意：x∈[-2，6]時，f（x）_max≥g（x）_min，g（x）_min=1．f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）．當 x變化時，f′（x）、f（x）變化情況如表

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，6）	6
f′（x）		+		-		+
f（x）	c-2	↗	極大值c+5	↘	極小值c-27	↗	c+54

∴x∈[-2，6]時，f（x）_max=c+54≥1，∴c≥-53
點評：本題主要考察了利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值，注意解題格式．