已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),其中x∈[0,15],a>0,且a≠1.
(1)若1是關(guān)于x的方程f(x)-g(x)=0的一個解,求t的值;
(2)當(dāng)0<a<1時,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求t的取值范圍;
(3)當(dāng)t∈[26,56]時,函數(shù)F(x)=2g(x)-f(x)的最小值為h(t),求h(t)的解析式.
【答案】
分析:(1)由f(1)-g(1)=0,即可求得t的值;
(2)當(dāng)0<a<1時,不等式f(x)≥g(x)恒成立?t≥
-2x(x∈[0,15])恒成立,令
=u(x∈[0,15]),則u∈[1,4],通過配方法可求得
-2x的最大值,從而解決問題;
(3)F(x)=2g(x)-f(x)=4
,令
=z 可求得z∈[1,2],設(shè)p(z)=2z
3+
,z∈[1,2],通過導(dǎo)數(shù)可求得[p(z)]
min與[p(z)]
max,從而可得答案.
解答:解:(1)由題意得f(1)-g(1)=0,即log
a2=2log
a(2+t),解得t=-2+
…(2分)
(2)當(dāng)0<a<1時,不等式f(x)≥g(x)恒成立,即
log
a(x+1)≥log
a(2x+t)(x∈[0,15])恒成立,
它等價于
≤2x+t(x∈[0,15]),即t≥
-2x(x∈[0,15])恒成立…(6分)
令
=u(x∈[0,15]),則u∈[1,4],x=u
2-1,
-2x=-2(u
2-1)+u=-2
+
,當(dāng)u=1時,
-2x的最大值為1,
∴t≥1…(8分)
(3)F(x)=2g(x)-f(x)=4log
a(2x+t)-log
a(x+1)=4
.
令
=z (x∈[0,15]),則z∈[1,2],x=z
4-1,
∴
=
=2z
3+
,z∈[1,2],…(10分)
設(shè)p(z)=2z
3+
,z∈[1,2],
則p′(z)=6z
2-
.
令p'(z)=0,得z=
.
∵t∈[26,56],
∴z=
∈[
,
]⊆[1,2],
當(dāng)1≤z≤
時,p'(z)<0;
當(dāng)
<z≤2,p'(z)>0.
故[p(z)]
min=
=8
,…(12分)
且p(z)的最大值只能在z=1或z=2處取得.
而p(1)=2+t-2=t,p(2)=16+
=
+15,
∴p(1)-p(2)=
-15,
當(dāng)26≤t≤30時,p(1)≤p(2),p(z)
max=p(2)=
+15,
當(dāng)30<t≤56時,p(1)>p(2),p(z)
max=p(1)=t,
∴p(z)
max=
…(14分)
∴當(dāng)a>1時,h(t)=4
;
當(dāng)0<a<1時,h(t)=
…(16分)
點評:本題考查函數(shù)恒成立問題,考查對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,考查等價轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想,考查換元的方法與導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用,綜合性強,難度大,屬于難題.