已知函數(shù),
.
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)設(shè),若對任意的兩個實(shí)數(shù)
滿足
,總存在
,使得
成立,證明:
.
(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,
;(2) 實(shí)數(shù)
的取值范圍
;(3) 詳見解析.
解析試題分析:(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間,由于含有對數(shù)式,可求出
導(dǎo)數(shù)
,在定義域內(nèi)解不等式
,
即得函數(shù)單調(diào)區(qū)間;(2)
恒成立,這是恒成立求參數(shù)范圍,常采用分離常數(shù)法,故本題分離出參數(shù)
后變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0a/2/6ozzt2.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立,構(gòu)造函數(shù)
,則問題轉(zhuǎn)化為
,利用導(dǎo)數(shù)可求得
,從而得實(shí)數(shù)
的取值范圍;(3)證明:
,由已知
,可得
,進(jìn)而可變形為
,只需證明
,設(shè)
,其中
,用導(dǎo)數(shù)可判斷
,又
,可得結(jié)論.
試題解析:(1)當(dāng)時,函數(shù)
,
則.
當(dāng)時,
,當(dāng)
時,
1,
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,
. 4分
(2)恒成立,即
恒成立,整理得
恒成立.
設(shè),則
,令
,得
.當(dāng)
時,
,函數(shù)
單調(diào)遞增,當(dāng)
時,
,函數(shù)
單調(diào)遞減,因此當(dāng)
時,
取得最大值1,因而
. 8分
(3),
.
因?yàn)閷θ我獾?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5a/3/1kxkw3.png" style="vertical-align:middle;" />總存在,使得
成立,
所以, 即
,
即. 12分
設(shè),其中
,則
,因而
在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,
,又
.
所以,即
. 14分
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)f(x)=+xln x,g(x)=x3-x2-3.
(1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;
(2)如果對于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2013·重慶卷)設(shè)f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6).
(1)確定a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若函數(shù)存在極大值和極小值,求
的取值范圍;
(2)設(shè)分別為
的極大值和極小值,其中
且
求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=,x∈(1,+∞).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某地政府為科技興市,欲在如圖所示的矩形ABCD的非農(nóng)業(yè)用地中規(guī)劃出一個高科技工業(yè)園區(qū)(如圖中陰影部分),形狀為直角梯形QPRE(線段EQ和RP為兩個底邊),已知其中AF是以A為頂點(diǎn)、AD為對稱軸的拋物線段.試求該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中
.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
在
處的切線方程;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求
的取值范圍;
(3)已知,如果存在
,使得函數(shù)
在
處取得最小值,試求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
,
,其中
,且
.
⑴當(dāng)時,求函數(shù)
的最大值;
⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑶設(shè)函數(shù)若對任意給定的非零實(shí)數(shù)
,存在非零實(shí)數(shù)
(
),使得
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,區(qū)間I={x|f(x)>0}.
(1)求I的長度(注:區(qū)間(α,β)的長度定義為β-α);
(2)給定常數(shù)k∈(0,1),當(dāng)1-k≤a≤1+k時,求I長度的最小值.
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