已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，若對任意的兩個實(shí)數(shù)滿足，總存在，使得成立，證明：．

(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，；(2) 實(shí)數(shù)的取值范圍；(3) 詳見解析．

解析試題分析：（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由于含有對數(shù)式，可求出導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)解不等式，即得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）恒成立，這是恒成立求參數(shù)范圍，常采用分離常數(shù)法，故本題分離出參數(shù)后變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0a/2/6ozzt2.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：，由已知，可得，進(jìn)而可變形為，只需證明，設(shè)，其中，用導(dǎo)數(shù)可判斷，又，可得結(jié)論．
試題解析：(1)當(dāng)時，函數(shù)，
則．
當(dāng)時，，當(dāng)時，1，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，．    4分
(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．
設(shè)，則，令，得．當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，取得最大值1，因而．        8分
(3)，．
因?yàn)閷θ我獾?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5a/3/1kxkw3.png" style="vertical-align:middle;" />總存在，使得成立，
所以，  即，
即
．              12分
設(shè)，其中，則，因而在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，，又．
所以，即．         14分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
(2)如果對于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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(2013·重慶卷)設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6)．
(1)確定a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）若函數(shù)存在極大值和極小值，求的取值范圍；
（2）設(shè)分別為的極大值和極小值，其中且求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝，x∈(1，＋∞)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農(nóng)業(yè)用地中規(guī)劃出一個高科技工業(yè)園區(qū)（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知其中AF是以A為頂點(diǎn)、AD為對稱軸的拋物線段．試求該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù),其中.
（1）當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍；
（3）已知,如果存在,使得函數(shù)在處取得最小值,試求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，，其中，且.
⑴當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；
⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
⑶設(shè)函數(shù)若對任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，區(qū)間I＝{x|f(x)>0}．
(1)求I的長度(注：區(qū)間(α，β)的長度定義為β－α)；
(2)給定常數(shù)k∈(0,1)，當(dāng)1－k≤a≤1＋k時，求I長度的最小值．

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