Question

（本題滿分12分）已知圓C：（為參數(shù)，∈R）．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓C外，過(guò)P作圓C的切線l，設(shè)切點(diǎn)為M．（1）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到(1，3)處，求此時(shí)切線l的方程；（2）求滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

(Ⅰ)  x=1或3x+4y-15=0  (Ⅱ)  2x-4y+1=0． 

解析:

把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)²+(y-2)²=4，

∴ 圓心為(-1，2)，半徑為2．…………2分

（1）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為x=1，滿足條件．……………4分

當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，得l的方程為y-3=k(x-1)，即kx-y+3-k=0，

∵ ，解得  ．∴ l的方程為3x+4y-15=0．

綜上，滿足條件的切線l的方程為x=1或3x+4y-15=0． …………………7分

（2）設(shè)P(x，y)，∵ |PM|²=|PC|²-|MC|²=(x+1)²+(y-2)²-4，|PO|²=x²+y²，

∴ 由|PM|=|PO|有(x+1)²+(y-2)²-4=x²+y²，整理得2x-4y+1=0，

即點(diǎn)P的軌跡方程為2x-4y+1=0．  ……12分