Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，an=(1-

1

n+1

)an+1+

n

3n

（1）設(shè)bn=

an

n

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)a1=

1

2

，an=(1-

1

n+1

)an+1+

n

3n

可得到遞推關(guān)系式

an+1

n+1

=

an

n

-

1

3n

，進(jìn)而可得到bn+1-bn=-

1

3n

，再由累差迭加可得到答案．
（2）根據(jù)（1）中{b_n}的通項(xiàng)公式求出{a_n}的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減可求出其前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）∵a1=

1

2

，an=(1-

1

n+1

)an+1+

n

3n

由已知有

an+1

n+1

=

an

n

-

1

3n

∴bn+1-bn=-

1

3n

利用累差迭加即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式：bn=

1

2•3n-1

（n∈N^*，n≥2）
經(jīng)驗(yàn)證知上式對(duì)n=1時(shí)也成立，
（II）由（I）知an=

n

2•3n-1

=

3

2

•

n

3n

，∴S_n=

3

2

(

1

3

+

2

32

++

n

3n

)=

9

8

-

9+6n

8•3n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推關(guān)系式和數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．考查數(shù)列的綜合應(yīng)用和計(jì)算能力．