Question

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），其部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知橫坐標(biāo)分別為-1、1、5的三點(diǎn)M、N、P都在函數(shù)f（x）的圖象上，求sin∠MNP的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象，可得函數(shù)的最小正周期T=8，結(jié)合周期公式得ω=

π

4

．再根據(jù)f（1）=1是函數(shù)的最大值，列式可解出φ的值，得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）的解析式，得出M、N、P三點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式得到MN、PN、PM的長(zhǎng)，用余弦定理算出cos∠MNP的值，最后用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可得sin∠MNP的值．

解答：解：（1）由圖可知，最小正周期T=（3-1）×4=8，所以ω=

2π

T

=

π

4

．
又∵當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最大值為1，
∴f（1）=sin（

π

4

+φ）=1，得

π

4

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z
∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴取k=0，得φ=

π

4

．
所以函數(shù)的解析式為f（x）=sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）∵f（-1）=0，f（1）=1且f（5）=sin（

π

4

×5+

π

4

）=-1．
∴三點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（-1，0），N（1，1），P（5，-1），
由兩點(diǎn)的距離公式，得|MN|=

5

，|PN|=2

5

，|MP|=

37

，
∴根據(jù)余弦定理，得cos∠MNP=

5+20-37

2• 5 •2 5

=-

3

5

．
∵∠MNP∈（0，π）
∴sin∠MNP是正數(shù)，得sin∠MNP=

1-cos2∠MNP

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要我們確定確定其解析式，并求一個(gè)角的正弦．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．