Question

（2013•鄭州一模）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-

ax

1-x

(a∈R)
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若數(shù)列{a_m}的通項(xiàng)公式am=(1+

1

2013×2m+1

)2013，m∈N*，求證：a1•a2…am＜3，(m∈N*)．

Answer 1

分析：（1）在定義域x大于0上，令f^′（x）=0求出x的值，利用x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間，注意分類討論；
（2）與數(shù)列有關(guān)的證明題，常用放縮法來(lái)解決．

解答：解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）∪（1，+∞），f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

，---（1分）
當(dāng)a≤0時(shí)，注意到

1

1+x

＞0，

a

(1-x)2

≤0，所以f′（x）＞0，
即函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1），（1，+∞），無(wú)減區(qū)間；---（2分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

=

x2-(2+a)x+1-a

(1+x)(1-x)2

，
由f^′（x）=0，得x²-2（2+a）x+1-a=0，
此方程的兩根x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

，
其中-1＜x₁＜1＜x₂，注意到（1+x）（1-x）²＞0，
所以f^′（x）＞0?-1＜x＜x₁或x＞x₂，
f^′（x）＜0?x₁＜x＜1或1＜x＜x₂，
即函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，x₁），（x₂，+∞），減區(qū)間為（x₁，1），（1，x₂），
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1），（1，+∞），無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，x₁），（x₂，+∞），減區(qū)間為（x₁，1），（1，x₂），
其中x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

．--（6分）
（2）證明：當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知，函數(shù)f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

在（0，1）上為減函數(shù)，--（7分）
則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

＜f(0)=0，即ln(1+x)＜

x

1-x

，
令x=

1

2013×2m+1

 (m∈N*)，則ln(1+

1

2013×2m+1

) ＜

1

2013×2m

 ，
即ln(1+

1

2013×2m+1

)2013＜

1

2m

 ，所以am=(1+

1

2013×2m+1

)2013＜e 

1

2m

，---（10分）
又a_m＞0，所以a1•a2•…•am＜e 

1

2

•e 

1

4

…e 

1

2m

=e 1-

1

2m

＜e＜3．----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握證明不等式成立時(shí)所常用的方法．