Question

設函數(shù)f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）設函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），判斷函數(shù)F（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）若關于x的方程g（m+2x-x²）=f（x）有實數(shù)根，求實數(shù)m的范圍；
（Ⅲ）當a＞1時，不等式f（n-x）＞g（x）對任意x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)n的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)F（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用方程g（m+2x-x²）=f（x）有實數(shù)根，建立m的方程求出m的范圍；
（Ⅲ）利用不等式恒成立，求實數(shù)n的范圍．
解答：解：（I）要使函數(shù)（x）=f（x）-g（x）有意義，
則，解得-1＜x＜1，
即函數(shù)的定義域為（-1，1）關于原點對稱．
∵F（x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）
=-[f（x）-g（x）]=F（-x），
∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函數(shù)；
（II）方程g（m+2x-x²）=f（x）有實數(shù)根，
即
所以1+m+2x-x²=1-x，即m=x²-3x有實數(shù)根，
由-1＜1-x＜1，得0＜x＜2．
∵m=x²-3x=，0＜x＜2，
∴．
（Ⅲ）因為f（n-x）=log_a（1-n+x），
g（x）=，
所以由a＞1且f（n-x）＞g（x）
得，
設，則1，
所以不等式等價為t²-n＞t，
即n＜t²-t，
設g（t）=t²-t，則，
所以當t=1，即x=0時，g（t）有最小值0．
所以n＜0．
點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)有關的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，綜合性較強，難度較大．