已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F且不平行于x軸的動(dòng)直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)M。
（1）求證：A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（2）設(shè)直線MF交該拋物線于C、D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值。
解：（1）由已知得F（0，1），顯然直線AB的斜率存在且不為0，
可設(shè)直線AB的方程為：y=kx+1（k≠0），，
由得，顯然△＞0，
∴，
由得，
∴，直線AM的斜率為，
直線AM的方程為直線，
化簡(jiǎn)得AM的方程為，
同理可得直線BM的方程為，
兩式相減得，即A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。
（2）由（1）知y=-1，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k，-1），，
則直線MF的方程為：，
設(shè)，由得：，顯然△＞0，
∴，
又
，

，
，
∴AB⊥AC，
，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，四邊形ACBD的面積有最小值32。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F和點(diǎn)A（-1，8），點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為
9
．

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13、已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F和點(diǎn)A（-1，8），P為拋物線上一點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值是
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線x2=4y上的點(diǎn)P（非原點(diǎn)）處的切線與x軸，y軸分別交于Q，R兩點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若
PQ
=λ
PR
，求λ．
（Ⅱ）若拋物線上的點(diǎn)A滿足條件
PF
=μ
FA
，求△APR的面積最小值，并寫出此時(shí)的切線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•溫州一模）如圖，已知拋物線x2=4y，過拋物線上一點(diǎn)A（x1，y1）（不同于頂點(diǎn)）作拋物線的切線l，并交x軸于點(diǎn)C，在直線y=-1上任取一點(diǎn)H，過H作HD垂直x軸于D，并交l于點(diǎn)E，過H作直線HF垂直直線l，并交x軸于點(diǎn)F．
（I）求證：|OC|=|DF|；
（II）試判斷直線EF與拋物線的位置關(guān)系并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•浙江模擬）已知拋物線x2=4y，圓C：x2+（y-2）2=4，M（x0，y0），（x0＞0，y0＞0）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）若y0=4，求過點(diǎn)M的圓的切線方程；
（Ⅱ）若y0＞4，求過點(diǎn)M的圓的兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值．

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