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3．證明：a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要條件是△ABC為等邊三角形．這里a，b，c是△ABC的三條邊．

分析 根據充要條件的定義，分別證明充分性和必要性成立即可．

解答 證明：充分性：…（2分）
如果△ABC為等邊三角形，那么a=b=c，
所以，（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
所以，a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca．…（5分）
必要性：…（7分）
如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，那么a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
所以a=b=0，b-c=0，c-a=0．
即 a=b=c．…（10分）

點評 本題主要考查充要條件的證明，根據充分條件的定義，分別證明充分性和必要性是解決本題的關鍵．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

13．已知函數f（x）=|x-1|+|x+a|-x-2．
（Ⅰ）當a=1時，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）設a＞-1，且存在x0∈[-a，1），使得f（x0）≤0，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

14．若數列{An}對任意的n∈N*，都有${A_{n+1}}={A_n}^k$（k≠0），且An≠0，則稱數列{An}為“k級創(chuàng)新數列”．
（1）已知數列{an}滿足${a_{n+1}}=2{a_n}^2+2{a_n}$且${a_1}=\frac{1}{2}$，試判斷數列{2an+1}是否為“2級創(chuàng)新數列”，并說明理由；
（2）已知正數數列{bn}為“k級創(chuàng)新數列”且k≠1，若b1=10，求數列{bn}的前n項積Tn；
（3）設α，β是方程x2-x-1=0的兩個實根（α＞β），令$k=\frac{β}{α}$，在（2）的條件下，記數列{cn}的通項${c_n}={β^{n-1}}•{log_{b_n}}{T_n}$，求證：cn+2=cn+1+cn，n∈N*．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

11．f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0）向右平移$\frac{π}{12}$個單位之后圖象與g（x）=cos2x的圖象重合，則φ=（　�。�
A．$\frac{5}{12}$πB．$\frac{π}{3}$C．$\frac{5}{12}$π+2kπ（k∈Z）D．$\frac{π}{3}$+2kπ（k∈Z）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

18．如圖欲在直角區(qū)域ABC內的空地上植造一塊“綠地Rt△ABD”，D在BC邊上．其中AB=1，設BD=x（x＞0）且BC足夠長，規(guī)劃在△ABD的內接正方形BEFG內種花，其余地方種草，種草的面積為S1，種花的面積為S2，比值$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$稱為“完美度”．
（1）用x表示出S2；
（2）求完美度f（x）=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最小值且此時x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

8．在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，則此三角形解的個數為2．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

15．在平面直角坐標系中，若角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P（-$\sqrt{3}$，-1），則sin（$\frac{π}{2}$-α）=（　�。�
A．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$B．$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C．$\frac{1}{2}$D．$-\frac{1}{2}$

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

12．已知（1-x）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10，則a9=（　　）
A．-20B．20C．-10D．10

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

13．設集合M={x|x2-3x-4＜0}，N={x|lgx＜1}，則M∩N=（　�。�
A．（-1，4）B．（0，4）C．（0，10）D．（4，10）

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