Question

i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵=

i

．

Answer 1

分析：根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)看出要求的和式中每四項(xiàng)之和等于0，則用2005除以4得到余數(shù)是1，則要求的和式等于i²⁰⁰⁵，求解i²⁰⁰⁵即可得到結(jié)果．本題也可以運(yùn)用推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式的方法，即錯(cuò)位相減法求解．

解答：解：法一
∵i+i²+i³+i⁴=i-1-i+1=0，
∴復(fù)數(shù)z=i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵
=（i+i²+i³+i⁴）+（i⁵+i⁶+i⁷+i⁸）+…+（i²⁰⁰¹+i²⁰⁰²+i²⁰⁰³+i²⁰⁰⁴）+i²⁰⁰⁵
=i²⁰⁰⁵
=（i²）¹⁰⁰²•i
=（-1）¹⁰⁰²•i
=i．
所以i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵=i．
故答案為i．
法二
設(shè)S=i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵①
等式兩邊同時(shí)乘以i得：
iS=i²+i³+…+i²⁰⁰⁶②
①-②得：（1-i）S=i-i²⁰⁰⁶，
所以，S=

i-i2006

1-i

=

i(1-i2005)

1-i

=

i(1-i)

1-i

=i．
故答案為i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查虛數(shù)單位的性質(zhì)及其應(yīng)用，訓(xùn)練了實(shí)數(shù)運(yùn)算中的錯(cuò)位相減法在計(jì)算復(fù)數(shù)題中的運(yùn)用，此題也可以運(yùn)用等比數(shù)列求和公式求解，是基礎(chǔ)題．