Question

棱長(zhǎng)為3，各面都為等邊三角形的正四面體內(nèi)任取一點(diǎn)P，由點(diǎn)P向各面引垂線，垂線段長(zhǎng)度分別為d₁，d₂，d₃，d₄，則d₁+d₂+d₃+d₄的值為

6

．

Answer 1

分析：根據(jù)正四面體的棱長(zhǎng)為3算出它的高h(yuǎn)=

6

，再由體積分割法列出等式，然后兩邊約去三角形的面積化簡(jiǎn)得

6

=d₁+d₂+d₃+d₄，可得本題答案．

解答：解：由于正四面體的邊長(zhǎng)為3，
可得它的高為h=

6

3

×3=

6

如圖，設(shè)正四面體ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，根據(jù)題意得
V_A-BCD=V_P-ABC+V_P-ACD+V_P-ABD+V_P-BCD，即：

1

3

S_△BCD×

6

=

1

3

S_△ABC×d₁+

1

3

S_△ACD×d₂+

1

3

S_△ABD×d₃+

1

3

S_BCD×d₄
∵正四面體的各個(gè)面是全等的正三角形，
∴兩邊約去

1

3

S_△BCD，可得

6

=d₁+d₂+d₃+d₄
即d₁+d₂+d₃+d₄為定值

6

故答案為：

6

點(diǎn)評(píng)：本題給出棱長(zhǎng)為3的正四面體內(nèi)部的點(diǎn)P，求點(diǎn)P到四個(gè)面的距離之和．著重考查了正四面體的性質(zhì)、錐體的體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．