如圖，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1＝A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C

答案：
解析：

 　　思路　　充分利用條件B1C1＝A1C1，找到三垂線定理中的“基平面”，或補圖

　　思路　　充分利用條件B1C1＝A1C1，找到三垂線定理中的“基平面”，或補圖．

　　解答　　證一　　取A1B1中點M，AB中點N，

　　連AM，B1N，CN，C1M．

　　∵A1C1＝B1C1，∴C1M⊥A1B1，

　　又∵ABCA1B1C1是直三棱柱，

　　∴C1M⊥面AA1B1B．

　　同理可證：CN⊥面AA1B1B．

　　故MA是C1A在面AA1BB1內(nèi)的射影．

　　又A1B⊥AC1，∴AM⊥A1B．

　　又∵AM∥B1N，

　　∴A1B⊥B1N．

　　而B1N是BAC在面AA1BB1內(nèi)的射影，

　　∴A1B⊥B1C．

　　證二　　如圖，把直三棱柱補成一個直四棱柱ADBCA1D1B1C1，

　　連AD1，D1C1．

　　∵A1C1＝B1C1，

　　∴A1D1B1C1為菱形．

　　故A1B1⊥D1C1．又ADBCA1D1B1C1是直四棱柱，

　　∴A1B1為A1B在底面A1D1B1C1內(nèi)的射影，故A1B⊥D1C1．

　　又∵A1B⊥AC1，

　　∴A1B⊥平面D1C1A，故A1B⊥D1A．

　　∴D1A∥B1C，

　　∴A1B⊥B1C．

　　評析　　(1)欲證A1B⊥B1C，可證明A1B垂直于B1C所在的平面(或者與B1C平行的平面)，或者用三垂線定理．(2)本題是證明線線垂直的很好例題，通過補形，把我們不熟悉的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為我們熟悉的位置關(guān)系，為解題創(chuàng)造了條件．(3)證明線線垂直常用下列三種方法：①按定義證明所成角為直角．②由線面垂直得到線線垂直．③利用三垂線定理．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CC1、AB中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，E是棱CC1上動點，F(xiàn)是AB中點，AC=BC=2，AA1=4．
（1）求證：CF⊥平面ABB1；
（2）當(dāng)E是棱CC1中點時，求證：CF∥平面AEB1；
（3）在棱CC1上是否存在點E，使得二面角A-EB1-B的大小是45°，若存在，求CE
的長，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，E、F分別是棱CC1、AB中點．
（1）判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）求四棱錐A-ECBB1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中點．
（Ⅰ）求異面直線AB和C1D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點，試確定點E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點D到平面B1C1E的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•莒縣模擬）如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CCl、AB中點．
（I）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）證明：直線CF∥平面AEBl．

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