Question

12．已知條件p：冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{{a}^{2}-a-2}$在（0，+∞）上單調遞增，條件q：g（x）=x+$\frac{1}{x}$極小值不小于a，則q是￢p成立的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既非充分也非必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的定義求出a的范圍，從而求出￢p，根據(jù)函數(shù)的單調性求出g（x）的極小值，從而求出q，結合集合的包含關系判斷即可．

解答 解：∵冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{{a}^{2}-a-2}$在（0，+∞）上單調遞增，
∴a²-a-2＞0，解得：a＞2或a＜-1，
故p：a＞2或a＜-1，￢p：-1≤a≤2；
g（x）=x+$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令g′（x）＜0，解得：-1＜x＜0且x≠0，
故g（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，0）遞減，在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故g（x）的極小值是g（1）=2，
故q：a≤2，
則q是￢p成立必要不充分條件，
故選：B．

點評 本題考查了充分必要條件，考查冪函數(shù)的性質以及函數(shù)的單調性、極值問題，是一道中檔題．