Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（1+a²）x²，其中a＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的長(zhǎng)度（注：區(qū)間（a，β）的長(zhǎng)度定義為β-α）；
（Ⅱ）給定常數(shù)k∈（0，1），當(dāng)1-k≤a≤1+k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)榉匠蘟x-（1+a²）x²=0（a＞0）有兩個(gè)實(shí)根x₁=0，x2=

a

1+a2

＞0，
故f（x）＞0的解集為{x|x₁＜x＜x₂}，
因此區(qū)間I=（0，

a

1+a2

），區(qū)間長(zhǎng)度為

a

1+a2

；
（Ⅱ）設(shè)d（a）=

a

1+a2

，則d′（a）=

1-a2

(1+a2)2

，
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故當(dāng)1-k≤a＜1時(shí)，d′（a）＞0，d（a）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜a≤1+k時(shí)，d′（a）＜0，d（a）單調(diào)遞減，
因此當(dāng)1-k≤a≤1+k時(shí)，d（a）的最小值必定在a=1-k或a=1+k處取得，
而

d(1-k)

d(1+k)

=

1-k 1+(1-k)2

1+k 1+(1+k)2

=

2-k2-k3

2-k2+k3

＜1，故d（1-k）＜d（1+k），
因此當(dāng)a=1-k時(shí)，d（a）在區(qū)間[1-k，1+k]上取得最小值

1-k

2-2k+k2

，即I長(zhǎng)度的最小值為

1-k

2-2k+k2

．