Question

在△ABC中，|AB|=3，|AC|=3|，BC|=5，點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，

AD

=x

AB

+y

AC

，當(dāng)xy取最大值時(shí)，|

AD

|的值為

 

．

Answer 1

分析：先設(shè)

BD

=λ

BC

，由點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)

AD

=λ

AC

+(1-λ)

AB

，結(jié)合已知條件可得x=1-λ，y=λ，則有xy=λ（1-λ），利用基本不等式可求xy的最值及取得最值的條件，然后結(jié)合解三角形的知識(shí)可求

解答：解：設(shè)

BD

=λ

BC

由向量加法的三角形法則可得，

AD

=

AB

+

BD

=

AB

+λ

BC

=

AB

+λ(

AC

-

AB

)=λ

AC

+(1-λ)

AB

∵

AD

=x

AB

+y

AC

∴x=1-λ，y=λ
∴xy=λ(1-λ)≤(

λ+1-λ

2

)2=

1

4

當(dāng)且僅當(dāng)λ=1-λ即λ=

1

2

時(shí)取等號(hào)．此時(shí)x=y=

1

2

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，此時(shí)D為BC的中點(diǎn)
∵|AB|=3，|AC|=3|，BC|=5∴AD⊥BC
∴AD=

32-2.52

=

11

2

故答案為：

11

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的求解與平面向量的綜合，解決本題需要熟練在掌握平面向量的一條性質(zhì)：若C在直線AB上三點(diǎn)共線，O在直線外，存在實(shí)數(shù)λ，使得

OC

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，從而把所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用基本不等式的知識(shí)求解．