Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n=2b_n-1+1，n≥2．
（1）求a_n，b_n的表達式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知an=

S1=1                 (n=1) Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2)

，b_n+1=2（b_n-1+1），由此可知b_n=2ⁿ-1．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1），令d_n=（2n-1）•2ⁿ，記R_n=d₁+d₂+…+d_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）．2ⁿ，再由錯位相減求和法求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）an=

S1=1                 (n=1) Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2)

（2分）
當(dāng)n=1時，2n-1=1，所以a_n=2n-1（n≥1）（3分）
∵b_n=2b_n-1+1∴b_n+1=2（b_n-1+1）n≥2（4分）
∴b_n+1成等比數(shù)列，且首項b₁+1=2，公比q=2（5分）
∴b_n+1=2•2^n-1，∴b_n=2ⁿ-1（6分）

（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1）（7分）
令d_n=（2n-1）•2ⁿ，
記R_n=d₁+d₂+…+d_n
=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）．2ⁿ
則2R_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
相減，故R_n=-2-2•2²-2•2³-…-2•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6（10分）
故T_n=R_n-[1+3+5+…+（2n-1）]=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6-n²（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列求和，解題時要注意公式的靈活運用，特別是錯位相減求和法的合理運用．