Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠aabc=90°，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁D⊥平面ABD；
（2）求平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C所成銳角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中點(diǎn)，我們易由勾股定理及直棱柱的結(jié)構(gòu)特征得到B₁D⊥BD，B₁D⊥AB，由線面垂直的判定定理，即可得到B₁D⊥平面ABD．
（2）由（1）中結(jié)論，可得BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，結(jié)合二面角的定義，可得∠ADB就是平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C的成角的平面角，解Rt△ABD，即可得到平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C的成角的平面角的大小．

解答：解：（1）在Rt△B₁C₁D中，∠B₁C₁D=90°，B₁C₁=1，C₁D=

1

2

CC₁=1
∴B₁D=

2

，同理BD=

2

，
在△B₁DB中，∵B₁D²+BD²=B₁B²，
∴∠B₁DB=90°
即B₁D⊥BD
又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，
∴AB⊥平面BB₁C₁C，而B(niǎo)₁D?平面BB₁C₁C，
∴B₁D⊥AB
又∵AB∩D=B
∴B₁D⊥平面ABD；
（2）由（Ⅰ）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，平面AB₁D∩平面BB₁C₁C=B₁D
∴∠ADB就是平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C的成角的平面角
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=1，BD=

2

∴tan∠ADB=

AB

BD

=

2

2

∴∠ADB=arctan

2

2

即平面AB1D與側(cè)面BB1C1C所成銳角的正切值為arctan

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得B₁D⊥BD，B₁D⊥AB，（2）的發(fā)是證得∠ADB就是平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C的成角的平面角．