Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-a|（a＞1），且f（x）的最小值為3，若f（x）≤5，則x的取值范圍是     ．

Answer 1

【答案】分析：利用不等式的性質(zhì)對(duì)|x-4|+|x-a|進(jìn)行放縮，求出其用a表示的最小值，因?yàn)閒（x）的最小值為3，從而求出a值，把f（x）代入f（x）≤5，然后進(jìn)行分類討論求解．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-a|≥|x-4+a-x|=|a-4|，
∵f（x）的最小值為3，
∴|a-4|=3，
∴a=1或7，∵a＞1，
∴a=7，
∴f（x）=|x-4|+|x-7|≤5，
①若x≤4，f（x）=4-x+7-x=11-2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；
②若4＜x＜7，f（x）=x-4+7-x=3，恒成立，故4＜x＜7；
③若x≥7，f（x）=x-4+x-7=2x-11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；
綜上3≤x≤8，
故答案為：3≤x≤8．
點(diǎn)評(píng)：此題考查絕對(duì)值不等式的放縮問(wèn)題及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，這類題目是高考的熱點(diǎn)，難度不是很大，要注意不等號(hào)進(jìn)行放縮的方向．