Question

如圖，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分別為棱DD₁、AB、BC的中點．

(1)求二面角B₁MNB的正切值；

(2)求證：PB⊥平面MNB₁．

(3)畫出一個正方體表面展開圖，使其滿足“有4個正方形面相連成一個長方形”的條件，并求出展開圖中P、B兩點間的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：連結(jié)BD交MN于F，連結(jié)B1F． 　　∵平面DD1B1B⊥平面ABCD，交線為BD，AC⊥BD， 　　∴AC⊥平面DD1B1B．又∵AC//MN， 　　∴MN⊥平面DD1B1B． 　　∵B1F，BF平面DD1B1B， 　　∴B1F⊥MN，BF⊥MN． 　　∵B1F平面B1MN， 　　BF平面BMN，則∠B1FB為二面角B1－MN－B的平面角． 　　在Rt△B1FB中，設B1B＝1，則FB＝， 　　∴tan∠B1FB＝． 　　(2)證明：過點P作PE⊥AA1，則PE∥DA，連結(jié)BE． 　　又DA⊥平面ABB1A1，∴PE⊥平面ABB1A1，即PE⊥B1M． 　　又BE⊥B1M，∴B1M⊥平面PEB． 　　∴PB⊥MB1． 　　由(1)中MN⊥平面DD1B1B，得PB⊥MN，所以PB⊥平面MNB1． 　　(3)解：PB＝，符合條件的正方體表面展開圖可以是以下6種之一：