如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,DE平面ABCD,AFDE,DE3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證:AC平面BDE;

(2)求二面角F-BE-D的余弦值;

(3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)M的位置,使得AM平面BEF,并證明你的結(jié)論.

 

(1)見(jiàn)解析(2) (3) 點(diǎn)M是線段BD上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)

【解析】(1)證明 DE平面ABCD,DEAC,四邊形ABCD是正方形,

ACBD,又DEBDD,

AC平面BDE.

(2)解 DE平面ABCD,

∴∠EBD就是BE與平面ABCD所成的角,即EBD60°.

.AD3,得BD3,DE3,AF.

如圖,分別以DA,DC,DE所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(3,0,0)F(3,0,)E(0,0,3),B(3,3,0)C(0,3,0)

(0,-3,),(3,0,-2)

設(shè)平面BEF的法向量為n(x,y,z),則

z,則n(4,2,)

AC平面BDE,

(3,-3,0)為平面BDE的一個(gè)法向量,

cosn,〉=

結(jié)合圖形知二面角F-BE-D的余弦值為.

(3)解 依題意,設(shè)M(t,t,0)(0≤t3),則(t3,t,0)

AM平面BEF,·n0,

4(t3)2t0,解得t2.

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2,0),此時(shí)

點(diǎn)M是線段BD上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn).

 

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a>0,b>0,且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2x1處有極值,則ab的最大值為________

 

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由于某高中建設(shè)了新校區(qū),為了交通方便要用三輛通勤車(chē)從新校區(qū)把教師接到老校區(qū),已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路,汽車(chē)走公路堵車(chē)的概率為,不堵車(chē)的概率為;汽車(chē)走公路堵車(chē)的概率為p,不堵車(chē)的概率為1p,若甲、乙兩輛汽車(chē)走公路,丙汽車(chē)由于其他原因走公路,且三輛車(chē)是否堵車(chē)相互之間沒(méi)有影響.

(1)若三輛汽車(chē)中恰有一輛汽車(chē)被堵的概率為,求走公路堵車(chē)的概率;

(2)(1)的條件下,求三輛汽車(chē)中被堵車(chē)輛的個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

 

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設(shè)F是拋物線C1y22px(p0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A是拋物線與雙曲線C21(a0b0)的一條漸近線的一個(gè)公共點(diǎn),且AFx軸,則雙曲線的離心率為 (  )

A2 B. C. D.

 

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如圖,在直角梯形ABCD中,ADAB,ABDC,ADDC1,AB2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心,且與直線BD相切的圓上或圓內(nèi)移動(dòng),設(shè)λμ (λ,μR),則λμ的取值范圍是(  )

 

A(1,2) B(0,3) C[1,2] D[1,2)

 

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如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,FEF,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(  )

 

AACBE

BEF平面ABCD

C.三棱錐A-BEF的體積為定值

D.異面直線AE,BF所成的角為定值

 

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A1 B9 C10 D55

 

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某養(yǎng)殖廠需定期購(gòu)買(mǎi)飼料,已知該廠每天需要飼料200千克,每千克飼料的價(jià)格為1.8元,飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元,購(gòu)買(mǎi)飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元.

(1)求該廠多少天購(gòu)買(mǎi)一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少;

(2)若提供飼料的公司規(guī)定,當(dāng)一次購(gòu)買(mǎi)飼料不少于5噸時(shí),其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠(即原價(jià)的85%).問(wèn):該廠是否應(yīng)考慮利用此優(yōu)惠條件?請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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