Question

已知橢圓（a＞b＞0），A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（x，0）．證明．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．因線段AB的垂直平分線與x軸相交，故AB不平行于y軸，即x₁≠x₂．又交點(diǎn)為P（x，0），故|PA|=|PB|．把點(diǎn)P坐標(biāo)代入，同時(shí)把A、B代入橢圓方程，最后聯(lián)立方程即可得到x關(guān)于x₁和x₂的關(guān)系式，最后根據(jù)x₁和x₂的范圍確定x的范圍．
解答：證明：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．因線段AB的垂直平分線與x軸相交，故AB不平行于y軸，即x₁≠x₂．又交點(diǎn)為P（x，0），故|PA|=|PB|，即
（x₁-x）²+y₁²=（x₂-x）²+y₂²①
∵A、B在橢圓上，
∴，．
將上式代入①，得
2（x₂-x₁）x=②
∵x₁≠x₂，可得．③
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，
∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本小題考查橢圓性質(zhì)、直線方程等知識(shí)，以及綜合分析能力．