已知曲線C：過C上一點(diǎn)作一斜率為的直線交曲線C于另一點(diǎn)，點(diǎn)列（＝1，2，3，???）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中.

（1）求與的關(guān)系式；

（2）求證：是等比數(shù)列；

（3）求證：.

解：（I）過C：上一點(diǎn)作斜率為的直線交C于另一點(diǎn)，

則         

于是有：.                                     

（II）記，則由（I）得：  

因?yàn)?sub>，故，  

因此數(shù)列是等比數(shù)列                                       

（III）由（II）可知：，則         

∴                                                    

若為奇數(shù)：

                        

于是：①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：

②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，于是有：

＝，

綜合①②可知原不等式得證.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C：y=x3及其上一點(diǎn)P1（1，1），過P1作C的切線l1，l1與C的另一公共點(diǎn)為P2（不同于P1），過P2作C的切線l2，l2與C的另一公共點(diǎn)為P3（不同于P2），…，得到C的一列切線l1，l2，…，ln，…，相應(yīng)的切點(diǎn)分別為P1，P2，…，Pn，…．
（1）求Pn的坐標(biāo)；
（2）設(shè)ln到ln+1的角為θn，求
limn→∞
tanθn之值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004全國各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學(xué) 題型：044

已知曲線C的方程為：kx2＋(4－k)y2＝k＋1(k∈R)

(Ⅰ)若曲線C是橢圓，求k的取值范圍；

(Ⅱ)若曲線C是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是，求此雙曲線的方程；

(Ⅲ)(理)滿足(Ⅱ)的雙曲線上是否存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線l：y＝x－1對稱，若存在，求出過P，Q的直線方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年廣東省廣州市仲元中學(xué)高三數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：圓錐曲線方程（解析版） 題型：解答題

已知曲線C的方程為kx2+（4-k）y2=k+1（k∈R）．
（1）若曲線C是橢圓，求k的取值范圍；
（2）若曲線C是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是60°，求此雙曲線的方程；
（3）滿足（2）的雙曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l：y=x-1對稱，若存在，求出過P、Q的直線方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備（第100-102課時(shí)）：第十三章 導(dǎo)數(shù)-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（3）（解析版） 題型：解答題

已知曲線C：y=x3及其上一點(diǎn)P1（1，1），過P1作C的切線l1，l1與C的另一公共點(diǎn)為P2（不同于P1），過P2作C的切線l2，l2與C的另一公共點(diǎn)為P3（不同于P2），…，得到C的一列切線l1，l2，…，ln，…，相應(yīng)的切點(diǎn)分別為P1，P2，…，Pn，…．
（1）求Pn的坐標(biāo)；
（2）設(shè)ln到ln+1的角為θn，求之值．

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