Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時都取得極值；
（1）求a，b的值及f（x）的極大值與極小值；
（2）若方程x³+ax²+bx+c=1有三個互異的實根，求c的取值范圍；
（3）若對x∈[1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為函數在極值點處導數等于0，所以若f（x）在x=-

2

3

與x=1時都取得極值，則f′（1）=0，f′（-

2

3

）=0，就可得到a，b的值，再利用導數的正負確定函數的單調性，即可求f（x）的極大值與極小值；
（2）若方程x³+ax²+bx+c=1有三個互異的實根，故曲線f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c與y=1有三個不同交點，則極大值大于1，極小值小于1，從而可求c的取值范圍；
（3）對x∈[1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，只須 c+2＜c²，從而可求c的取值范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=3x²+2ax+b
由已知有

f′(- 2 3 )=0 f′(1)=0

，解得 a=-

1

2

，b=-2------（3分）
∴f'（x）=3x²-x-2，f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c
由f'（x）＞0得 x＞1或x＜-

2

3

，由f'（x）＜0得 -

2

3

＜x＜1---（5分）ks5u
列表如下

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	c+ 22 27	遞減	c- 3 2	遞增

所以，當x=-

2

3

時，f（x）有極大值c+

22

27

，當x=1時，f（x）有極小值c-

3

2

----------（8分）
（2）由于方程x³+ax²+bx+c=1有三個互異的實根，故曲線f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c與y=1有三個不同交點--------（9分）
由（1）可知此時有

c+ 22 27 ＞1 c- 3 2 ＜1

，解得

5

27

＜c＜

5

2

；----------（12分）
（3）由（1）知，f（x）在x∈[1，2]上遞增，此時f（x）_max=f（2）=c+2--（14分）
要滿足題意，只須  c+2＜c²
解得c＞2或c＜-1--------------（16分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查函數的最值，確定函數的單調性與最值是關鍵．