Question

已知e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）求證ln2＞

13

20

；
（Ⅲ）求證ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞

9n2+4n

10(n+1)

（n≥1，n∈N）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知可得f′（x）=

1

x+1

-1+x，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)f′（x）≥0，得函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）可用分析法證明ln2＞

13

20

；
（Ⅲ）亦可用分析法證明ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞

9n2+4n

10(n+1)

（n≥1，n∈N）．

解答： 解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

，
則f′（x）=

1

x+1

-1+x=

x2

x+1

，
故當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)f′（x）≥0，
則函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

在[0，+∞）上的最小值為0；

（Ⅱ）證明：要證ln2＞

13

20

，只需證ln4＞

13

10

，
只需證ln

4

e

＞

3

10

，
而由（Ⅰ）知ln（x+1）≥x-

x2

2

（x≥0）
所以ln[1+（

4

e

-1）]≥（

4

e

-1）-

1

2

(

4

e

-1)2
只需證（

4

e

-1）-

1

2

(

4

e

-1)2＞

3

10

，
即需證明4（e-1）＞0.9e²
而e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，
故4（e-1）＞0.9e²恒成立，
從而ln2＞

13

20

得證；

（Ⅲ）要證ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞

9n2+4n

10(n+1)

（n≥1，n∈N）成立，
只需證ln（n+1）＞

9

10

-

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）（n≥1，n∈N）恒成立，
只需證2xln（x+1）+

1

x+1

＞

9

5

x（x≥1）恒成立，
令g（x）=2xln（x+1）+

1

x+1

-

9

5

x（x≥1），
則g′（x）=2ln（x+1）+2x•

1

x+1

-

1

(1+x)2

-

9

5

=2ln（x+1）-

2

x+1

-

1

(1+x)2

+

1

5

（x≥1），
故g′（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)
所以g′（x）≥g′（1）=2ln2-1-

1

4

+

1

5

＞

13

10

-1-

1

4

+

1

5

=

3

2

-

5

4

＞0，
故g′（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故g（x）≥g（1）=2ln2+

1

2

-

9

5

＞

13

10

+

1

2

-

9

5

=0，
從而2xln（x+1）+

1

x+1

＞

9

5

x（x≥1）恒成立，
即ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞

9n2+4n

10(n+1)

（n≥1，n∈N）成立．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用以及不等式證明中的分析法的應(yīng)用．