Question

（2011•浙江模擬）如圖，幾何體ABCDEF，△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°，AD、BE、CF均與面ABC垂直，其中AB=BC=

2

，BE=CF=3．
（Ⅰ）當(dāng)O是CE中點(diǎn)且AD=

3

2

時，證明：AO∥平面DEF；
（Ⅱ）如果AD＜3，試求：當(dāng)AD為多少時，平面DBC與平面DEF成直二面角？

Answer 1

分析：（I）取線段EF的中點(diǎn)G，連接OG、DG，由三角形中位定理易證OG∥AD，OG=AD，進(jìn)而四邊形AOGD為平行四邊形，進(jìn)而AO∥GD由線面垂直的判定定理可得AO∥平面DEF；
（Ⅱ）方法一：由面面垂直的性質(zhì)可得∠BDE即為二面角的平面角，設(shè)AD=x，DM=3-x，由直角三角形可得：x²+2+（3-x）²+2=9，解方程確定D的位置可得答案；
方法二：（向量法）以B為原點(diǎn)，分別以BC、BA、BE所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DBC的法向量和平面DEF的法向量，進(jìn)而根據(jù)兩平面垂直，其法向量也垂直得到z²-3z+2=0，解方程確定D的位置可得答案；

解答：證明：（I）取線段EF的中點(diǎn)G，連接OG、DG
∵O、G分別為CE和EF的中點(diǎn)
∵OG∥CF
∴OG∥AD…（2分）
又，OG=

1

2

CF=

3

2

=AD
所以，四邊形AOGD為平行四邊形…（4分）
∴AO∥GD又AO?平面DEF，GD?平面DEF
所以，AO∥平面DEF…（7分）
解：（II）方法一：

平面BCD⊥平面ABDE 平面DEF⊥平面ABDE

⇒∠BDE即為二面角的平面角…（10分）
平面DBC與平面DEF成直二面角，即∠BDE=90°
設(shè)AD=x，DM=3-x，由直角三角形可得：x²+2+（3-x）²+2=9…（12分）
解得：x₁=1，x₂=2
所以當(dāng)AD=1或AD=2時，
平面DBC與平面DEF成直二面角…（14分）
方法二：向量法
以B為原點(diǎn)，分別以BC、BA、BE所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則B（0，0，0），C(

2

，0，0)，A(0，

2

，0)，E（0，0，3），F(

2

，0，3)…（8分）
設(shè)D(0，

2

，z)
平面DBC的法向量為

n

1=(0，1，-

2

z

)…（9分）
平面DEF的法向量為

n

2=(0，1，-

2

z-3

)…（10分）
則，

n

1⊥

n

2⇒

n

1•

n

2=0，
即1+

2

z(z-3)

=0…（12分）
z²-3z+2=0，解得，z=1或z=2
所以當(dāng)AD=1或AD=2時，平面DBC與平面DEF成直二面角…（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，其中（I）的關(guān)鍵是證得AO∥GD，（II）中方法一的關(guān)鍵是確定∠BDE即為二面角的平面角，方法二的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．