Question

設△ABC三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量=（a，2b），=（sinA，1），且∥．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若△ABC是銳角三角形，=（cosA，cosB），=（1，sinA-cosAtanB），求•的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過∥．得到a-2bsinA=0，由正弦定理求出sinB的值，然后求角B的大小；
（Ⅱ）先求•的表達式sin（A+），利用三角形的內(nèi)角和是180°，B的值，推出A的范圍，A+的范圍，然后確定•取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵=（a，2b），=（sinA，1），且∥，
∴a-2bsinA=0，由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0．（3分）
∵0＜A，B，C＜π，∴sinB=，得B=或B=．（6分）
（Ⅱ）∵△ABC是銳角三角形，
∴B=，=（cosA，），=（1，sinA-cosA），
于是•=cosA+（sinA-cosA）=cosA+sinA=sin（A+）．（9分）
由A+C=π-B=及0＜C＜，得A=-C∈（，）．
結(jié)合0＜A＜，∴＜A＜，得＜A+＜，
∴＜sin（A+）＜1，即＜•＜1．（12分）
點評：本題考查向量的數(shù)量積，正弦定理的應用，三角形內(nèi)角和的應用，考查計算能力，是知識交匯題目，有難度但是不大，注意角的范圍的確定．