Question

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，設(shè)過點P(3，

2

)的直線l，與x軸交于點F（2，0），如果一個橢圓經(jīng)過點P，且以點F為它的一個焦點．
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）中求過點F（2，0）的弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根據(jù)題意并結(jié)合橢圓基本量的平方關(guān)系，建立關(guān)于a、b的方程組，解之即可得到此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x，y），將A、B坐標(biāo)代入橢圓的方程，再將所得的方程作差因式分解，結(jié)合直線的斜率公式與中點坐標(biāo)公式變形整理，可得2x²+3y²-4x=0，即為所求AB中點M的軌跡方程．

解答：解：（1）設(shè)所求橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵點P(3，

2

)在橢圓上，且F（2，0）是橢圓的一個焦點，
∴

a2=b2+4 9 a2 + 2 b2 =1

，解得

a2=12 b2=8

，
∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

12

+

y2

8

=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中點為M（x，y），
則可得

x12 12 + y12 8 =1 x22 12 + y22 8 =1

，兩式相減，整理得：

1

12

(x12-x22)=-

1

8

(y12-y22)．
①當(dāng)x₁≠x₂時，可得

y1-y2

x1-x2

=-

8(x1+x2)

12(y1+y2)

=-

2

3

?

2x

2y

=-

2

3

?

x

y

；
又∵k_AB=k_MF=

y-0

x-2

，
∴-

2

3

?

x

y

=

y-0

x-2

，整理得2x²+3y²-4x=0；
②當(dāng)x₁=x₂時，AB中點為M（2，0），也滿足上述方程．
綜上所述，動點M的軌跡方程為：2x²+3y²-4x=0．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并依此研究動點的軌跡方程．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單性質(zhì)、直線的斜率公式、中點坐標(biāo)公式等知識，考查了動點軌跡方程的求法，屬于中檔題．