Question

函數(shù)f（x）=x²-4x-4．
（1）求f（x）在閉區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值．
（2）設(shè)f（x）在閉區(qū)間[t，t+1]（t∈R）上的最小值記為g（t），試寫(xiě)出g（t）的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，能求出f（x）在閉區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值．
（2）當(dāng)t＞2時(shí)，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，由g（t）=f（t）=t²-4t-4，利用分類(lèi)討論思想能求出g（t）．

解答：解：（1）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8．
二次函數(shù)f（x）的圖象是一條開(kāi)口方向向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸方程是x=2，…（2分）
所以，函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增．…（4分）
f（0）=-4，f（2）=-8，f（3）=-7．
所以，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_min=-8，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）_max=-4．…（6分）
（2）當(dāng)t＞2時(shí)，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)．
∴g（t）=f（t）=t²-4t-4．…（8分）
當(dāng)t≤2≤t+1，即1≤t≤2時(shí)，g（t）=f（2）=-8．…（10分）
當(dāng)t+1＜2，即t＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上是減函數(shù)．
∴g（t）=f（t+1）=t²-2t-7．…（12分）
綜上可知：g（t）=

t2-2t-7，t＜1 -8，1≤t≤2 t2-4t-4，t＞2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值的求法，考查函數(shù)的解析式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意配方法和分類(lèi)討論法的合理運(yùn)用．